积分中值定理的推广，积分平均值定理的拓展？

admin • 2024年4月19日 am6:36 • 网络资讯 • 阅读 239

中值定理（mean value theorem）是微积分中的一个重要定理，它表明在一个区间上的连续可微函数存在一个点，该点的导数等于函数在整个区间上的平均变化率。具体来说，对于函数f(x)在区间[a, b]上连续且可微，存在一个点c，使得f'(c)等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。这一定理在图形上的表现可以从函数的导数与平均变化率的关系中得以解释。

mean value theorem

在数学中，如果连接x=a和x=b的直线的斜率恰好等于区间[a,b]上的平均变化率，且函数在此区间内连续且在每个内部点上可微分，那么必然存在一个内部点c，其斜率正好等于平均变化率。

中值定理在解决实际计算问题时可能不是特别常用，但在许多重要定理的证明中却是不可或缺的。例如，在积分中值定理中，对于[a,b]上的一个连续函数f来说，存在一个点c使得

F(x)是[a,b]上的连续可微函数，根据中值定理，存在一个点c，满足

即

根据如图所示，蓝色区域的面积等于曲线f(x)以下的面积。

积分中值定理

在一个有限闭区间上的连续函数一定存在一个点，使得函数的值等于它的平均值。这个结论相对明显，呵呵。

积分中值定理是微积分中的重要定理，它用来证明微积分的基本定理。这个定理说明对于一个连续函数，在一个区间上的定积分等于该函数在该区间上的原函数值的差。也就是说，如果一个函数f在区间[a,b]上有原函数F（即F的导数是f），则函数f在该区间上的定积分可以通过计算原函数F在区间端点的函数值之差来得到。

这个定理被称为“基本定理”，名字看起来有些厉害，但是它为什么被称为基本定理呢？它的“基本”之处体现在哪里呢？

微积分的学习过程通常以学习微分（求导数）的各种方法为起点，接着学习基本定理，最后再探讨积分的各种方法。值得注意的是，最初，求导数和求积分是独立的领域，各自探索其计算方法。然而，微积分基本定理揭示了一个重要的事实：求定积分实质上就是找到被积函数f的一个原函数，或者说，只要找到一个函数F，使得F的导数等于f，就可以轻松地计算出定积分。总体来说，基本定理在微分和积分两个原本独立的领域之间架起了沟通的桥梁，将众多计算方法和技巧整合在一起。因此，可以说基本定理是微积分学中最为基础的定理。

证明这个定理其实并不复杂，也很容易理解。关键步骤是证明上面定义的F(x)是函数f(x)的一个原函数，即F'(x)=f(x)。

证：

根据积分中值定理，我们可以得知，在(x,x+h)上存在一点c，使得……

这意味着F是函数f的一个不定积分。

证毕。

易见，根据这个定义，F(x)的积分可以表示为∫f(t)dt从a到x。

是的，事实上，在这一步，从计算角度来看，我们并没有取得任何进展。因为我们只是证明了我们之前定义的F(x)满足这个公式，并且F的导数是f。我们并没有证明任意一个f的原函数都可以表示为这种形式。而且尽管我们知道了F是f的一个原函数，但F本身并不容易计算（就像我们计算定积分一样困难）。换句话说，就F的定义形式而言，它对简化定积分的计算没有帮助。

一个很有意思的地方，是可以通过发现解决这个定积分计算问题。我们知道，一个函数有无穷多个原函数，它们之间只相差一个常数，因此任意一个函数f的原函数，我们都有。

其中C是一个常数。

而注意到

因此，在基本定理中，我们可以选择任意一个是函数f的原函数作为F（即F'=f），因为它们之间的差值都是相等的。这为我们的计算提供了很大的便利，只要找到函数f的一个原函数，就可以计算出定积分的值了！

让我们利用这个定理来计算一些以前难以求解的定积分吧！

例：计算

解：.

原创文章，作者：admin，如若转载，请注明出处：https://www.seohomer.com/66821.html

积分中值定理的推广，积分平均值定理的拓展？

相关推荐